SYYSKUUN 2011 KALENTERITEHTÄVÄT

National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) on myöntänyt luvan kalenterin julkaisuun. Alkuperäinen julkaisu on ´Mathematics Teacher, September 2007´. Kaikki oikeudet ovat NCTM:llä. NCTM ei vastaa käännöksen laadusta eikä mahdollisista virheistä. Käännöksen ovat tehneet Nurmon lukion kurssin MAA21 opiskelijat.

1. Neliön muotoinen tikkataulu (30 cm × 30 cm) koostuu yhdeksästä toisiaan ja neliön sivuja sivuavasta yhtenevästä ympyrästä. Heitetään yksi tikka, joka osuu tauluun. Mikä on todennäköisyys, että se osuu varjostamattomaan alueeseen?

syysT01

2. Määritellään käsite googol siten, että googol = 10¹⁰⁰. Määritä reaaliluku x siten että (x⁵)¹⁰ = googol. (Tehtävä n:o 2, NCTM, August 2007)

3. Olkoot x ja y, x ≠ y, kokonaislukuja. Määritellään operaatio □ seuraavasti:

x □ y = | x² – y² |.

Laske

(2 □ 3) □ (4 □ 3)

4. Kuinka monta erilaista suorakulmaista särmiötä on olemassa, joiden tilavuus on 100 m³, ja joiden sivujen pituudet ovat kokonaislukuja (metreissä)? (Tehtävä n:o 4, NCTM, August 2007)

5. Perhe haravoi syksyllä pudonneita lehtiä isolta nurmikolta ja siirtää ne jätesäkkeihin. Betsy täyttää 3 säkkiä samassa ajassa kuin Meri täyttää 2 säkkiä. Jonkin ajan kuluttua Jim aloittaa haravoinnin. Hän täyttää 3 säkkiä samassa ajassa kuin Betsy täyttää 2 säkkiä, mutta hän työskentelee vain puolet siitä ajasta kuin muut. Yhteensä he haravoivat 58 säkillistä. Kuinka kauan Meri haravoi, jos häneltä kului 6 minuuttia yhden säkin täyttämiseen?

6. Kuvaile tai piirrä 3-ulotteinen kappale, josta syntyy oheisten kuvioiden mukaisia varjoja seinälle, kun niitä valaistaan eri suunnista.

syysT06

7. Testissä on 45 monivalintatehtävää. Oikeasta vastauksesta saa 1 pisteen ja väärästä vastauksesta vähennetään ¼ pistettä. Jos johonkin kysymykseen ei vastaa, saa tästä kysymyksestä 0 pistettä. Kuinka monta erilaista pisteyhdistelmää tuottaa 28 pistettä?

8. Jackin täytyy kulkea pisteestä A pisteeseen C. Hän voi juosta ensin B:hen ja siitä C:hen nopeudella 9 km/h, tai kävellä suoraan A:sta C:hen nopeudella 6 km/h. Kummalla tavalla hän on ensin perillä? Ratkaisussa korvataan kuviossa esiintyvät mailit kilometreillä.

syysT08

9. Seitsemän lanttia on järjestetty kuvan osoittamalla tavalla. Sijoita kuvioon kaksi lanttia siten, että muodostuu kymmenen kolmen lantin jonoa, missä lantit ovat samalla suoralla.

syysT09

10. Kuviossa olevan suuremman viisikulmion piiri (= ympärysmitta) on 100 mm. Mikä on pienemmän viisikulmion piiri, kun sen sivut ovat isomman viisikulmion lävistäjillä?

syysT10

11. Tehdas valmistaa suoran ympyrälieriön muotoisia säilykepurkkeja. Tehtaan johto päättää pienentää purkin tilavuutta 10 %. Tämä tietenkin aiheuttaa kuluttajille ärtymystä, kun he näkevät pienemmät purkit. Minimoidakseen ärtymyksen määrän tehdas pitää purkin korkeuden muuttumattomana. Kuinka monta prosenttia purkin pohjan halkaisijaa on pienennettävä?

12. Ryhmänohjaaja tarkasteli ryhmänsä oppilaiden syntymäpäiviä (päivät 1, 2,…,31). Hän huomasi seuraavaa: Jokainen alkuluku oli ainakin yhden oppilaan syntymäpäivässä. samoin jokainen neliö, kuutio sekä lukujen 3, 5, 7 ja 11 monikerta. Mikä/mitkä päivät eivät esiintyneet syntymäpäivissä?

13. Kolmion ΔABC terävät kulmat ovat 30⁰ ja 60⁰. Olkoon BD suoran kulman kärjestä piirretty korkeusjana, jolloin muodostuu kolmio ΔADB. Tässä kolmiossa DE on jälleen suoran kulman kärjestä piirretty korkeusjana, jolloin muodostuu kolmio ΔADE. Näin jatketaan vielä neljä kertaa. Laske kolmioiden ΔAIH ja ΔABC alojen suhde.

syysT13

14. Kahdessa hatussa on punaisia ja sinisiä kuulia. Hatussa 1 on 2 punaista ja 8 sinistä kuulaa, ja hatussa 2 on 8 punaista ja 2 sinistä kuulaa. Kathy valitsee umpimähkään ensin hatun ja sieltä kaksi kuulaa. Molemmat kuulat ovat sinisiä. Tämän jälkeen hän valitsee toisesta hatusta yhden kuulan. Mikä on todennäköisyys, että tämä on punainen?

15. Lew heittää tikkaa tähden muotoiseen tauluun, jonka muodostaa kaksi päällekkäin olevaa yhtenevää tasasivuista kolmiota. Oletetaan, että Lew osuu tauluun. Mikä on todennäköisyys, että tikka osuu keskellä olevaan kuusikulmioon? (Tehtävä n:o 15, NCTM, August 2007)

16. Laske kaikkien jonossa

1, 2, 3,…, 99, 100

esiintyvien numeroiden summa.

17. Opettaja piti matematiikan kokeen 25 oppilaan ryhmälle ja sai kokeen keskiarvoksi 72 pistettä. Epäonnekseen hän kirjasi väärin oppilas Samanthan pisteet 86. Hän nimittäin kirjasi ne 36:ksi. Mikä oli kokeen oikea keskiarvo?

18. Jos suorakulmiosta DEFG leikataan pois neliö ABCD, on jäljelle jäävän kuvion ala 92. Janan AE pituus on 4 ja jana GC pituus 8. Laske suorakulmion DEFG ala.

syysT18

19. Erään halpaketjun ruokalassa on lounastarjous, jonka mukaan 3 voileipää, 7 kuppia kahvia ja yksi munkki maksavat yhteensä 3,15 €. Toisen tarjouksen mukaan 4 voileipää, 10 kuppia kahvia ja yksi munkki maksavat yhteensä 4,20 €. Mikä on annoksen ”1 voileipä, 1 kahvikuppi ja 1 munkki” hinta?

20. Stemnin perhe haluaa rakentaa taloonsa terassin. Kuviossa on arkkitehdin suunnitelma, missä terassin ulkomitta (A – B – C – D – E) on 30 metriä. Jos AB = DE ja BC = CD. niin mikä on AB: pituuden oltava, jotta saataisiin mahdollisimman suuri pinta-ala?

syysT20

21. Lukua 1 suuremmat kokonaisluvut järjestetään viiteen sarakkeeseen kuten kuviossa. Mihin sarakkeeseen tulee luku 1000?

syysT21

22. Pat, Sam ja Danny ovat syytettyinä myymälävarkaudesta. Ainakin yksi heistä on syyllinen. Heidän kuulustelussaan paljastuu seuraavia seikkoja: Joko Danny on syytön tai Sam on syyllinen.Pat ja Danny eivät koskaan toimi yhdessä, ja Patilla ei koskaan ole itsekeksittyä keikkaa. jos Sam on syyllinen, niin myös Pat on syyllinen. Kuka on syyllinen?

23. Allien palkka on 5/8 Basilin palkasta. Allie laittaa säästöön 1/4:n siitä, mitä Basil laittaa, ja Allie säästää 40 % palkastaan. Kuinka monta % Basil laittaa säästöön palkastaan?

24. Keisha on sopinut veljensä kanssa, että he leikkaavat yhtä suuren osan heidän etupihallaan olevasta nurmikosta, jonka mitat ovat 20 m × 40 m. Ruohonleikkuri on 1 m levyinen. Keisha aloittaa leikkaamisen yhdestä nurmikon kulmasta. Hän leikkaa koko ajan kiertäen yhä pienenevää nurmikkoa. kuinka monen kierroksen jälkeen hänen veljensä tulee jatkamaan leikkaamista?

25. Kahdenkymmenenviiden oppilaan ryhmä näki vilauksen opettajan arvostelulistasta. Kukaan oppilaista ei nähnyt koko arvostelulistaa, mutta kaikki havaitsivat viisi kymppiä, eikä kukaan nähnyt omaa arvosanaansa. Mikä oli pienin mahdollinen määrä oppilaita, jotka saivat kympin?

26. Mikä on seuraava termi lukujonossa

2, 10, 202, …?

27. Epätavallisessa arpakuutiossa on pistemäärät: 1, 2, 3, 5, 7 ja 9. Jos heitetään kahta tällaista noppaa ja lasketaan saadut pisteluvut yhteen, niin millä todennäköisyydellä summa on 10?

28. Eräässä luokassa s oppilasta päätti ostaa suosikkiopettajalleen lahjan, jonka hinta oli d euroa, ja hinta jaettiin tasan kaikkien oppilaiden kesken. Kuitenkin oli 15 oppilasta, jotka eivät halunneet osallistua lahjaan. Loput päättivät kuitenkin ostaa lahjan ja he jakoivat tasan koko lahjan hinnan. Kuinka paljon lisää joutui jokainen maksamaan?

29. Xan aikoo kesälomallaan käydä tervehtimässä eri puolilla maata asuvia ystäviään. Hän tekee 1200 km pituisen matkan skootterillaan, jonka tankkiin mahtuu 14 litraa polttoainetta, ja yhdellä tankillisella hän voi ajaa 270 km. Hän aloittaa matkan täydellä tankilla. Mikä on pienin mahdollinen polttoaineen lisäyksestä johtuva pysähdysten määrä?

30. Kymmenen jalkapallojoukkuetta pelaa turnauksen, missä jokainen joukkue pelaa yhden kerran jokaista muuta joukkuetta vastaan. Ottelun voittaja saa aina 3 pistettä ja häviäjä 0 pistettä. Pelin päättyessä tasan saa kumpikin joukkue 1 pisteen. Kun turnaus oli pelattu, oli pisteitä koossa yhteensä 130. Kuinka moni ottelu päättyi tasapeliin? (Tehtävä n:o 30, NCTM, August 2007)